三线合一证明过程

OK，这就开始，为你打造一篇小红书风格的“三线合一”证明过程干货文：

开篇总结：

等腰三角形中，“三线合一”指的是 顶角平分线、底边上的中线、底边上的高 这三条线重合。证明的关键在于利用等腰三角形的性质（两腰相等）以及全等三角形的判定与性质。常用的证明方法有多种，核心思路都是围绕着构造全等三角形展开。

证明方法一： 从“角”出发

这条路子，咱们从 顶角平分线 入手。

假设有一个等腰三角形ABC，AB = AC。现在我们作顶角∠BAC的平分线AD，交底边BC于点D。

1. 已知：AB = AC，∠BAD = ∠CAD （角平分线定义）

2. 目标：证明 AD 既是中线又是高，即 BD = CD，AD⊥BC。

3. 具体操作：

   • 在△ABD和△ACD中：
     • AB = AC （已知）
     • ∠BAD = ∠CAD （已知）
     • AD = AD （公共边）
   • 所以，△ABD ≌ △ACD （SAS）
   • 因此，BD = CD （全等三角形对应边相等），∠ADB = ∠ADC （全等三角形对应角相等）
   • 又因为 ∠ADB + ∠ADC = 180° （平角定义）
   • 所以，∠ADB = ∠ADC = 90°
   • 因此，AD⊥BC

4. 结论：AD 既是 BC 边上的中线，又是 BC 边上的高。

证明方法二： 从“边”入手

这次咱们换个角度，由 底边上的中线 出发。

还是等腰三角形ABC，AB = AC。这次我们取BC的中点D，连接AD。

1. 已知：AB = AC，BD = CD （中点定义）

2. 目标：证明 AD 既是角平分线又是高，即 ∠BAD = ∠CAD，AD⊥BC。

3. 具体操作：

   • 在△ABD和△ACD中：
     • AB = AC （已知）
     • BD = CD （已知）
     • AD = AD （公共边）
   • 所以，△ABD ≌ △ACD （SSS）
   • 因此，∠BAD = ∠CAD （全等三角形对应角相等），∠ADB = ∠ADC （全等三角形对应角相等）
   • 又因为 ∠ADB + ∠ADC = 180°
   • 所以，∠ADB = ∠ADC = 90°
   • 因此，AD⊥BC

4. 结论：AD 既是 ∠BAC 的角平分线，又是 BC 边上的高。

证明方法三： “垂直”的力量

最后，我们试试从 底边上的高 开始证明。

依然是那个熟悉的等腰三角形ABC（AB = AC）。这次，我们过点A作AD⊥BC，垂足为D。

1. 已知：AB = AC，AD⊥BC

2. 目标：证明 AD 既是角平分线又是中线，即 ∠BAD = ∠CAD，BD = CD。

3. 具体操作：

   这里要用到一个重要的定理——勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）。

   • 在Rt△ABD和Rt△ACD中：
     • AB = AC （已知）
     • AD = AD （公共边）
     • 根据勾股定理：
       • BD² = AB² – AD²
       • CD² = AC² – AD²
     • 所以，BD² = CD²
     • 因为BD和CD都是正数，所以BD=CD。
   • 在Rt△ABD和Rt△ACD中：
     • AB=AC
     • AD=AD
     • BD=CD
     • 所以Rt△ABD≌Rt△ACD (SSS)
     • 因此，∠BAD = ∠CAD

4. 结论：AD 既是 ∠BAC 的角平分线，又是 BC 边上的中线。

一些思考和体会

• 以上三种方法，虽然入手点不同，但都殊途同归，核心都是在构建全等三角形。
• 在实际解题中，选用哪种方法，要看题目给出的具体条件，灵活运用。
• 证明过程中要记得标注好使用的定理。
• 其实，还可以利用“线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等”这个定理来证明，大家有兴趣可以自己试试。

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