样本相关系数r计算公式推导

皮尔逊样本相关系数r的计算公式，简洁明了地说是：协方差除以两个变量标准差的乘积。是不是超级简单易懂！想要更深入地了解它，就跟着我一起探索一下这个公式的推导过程，以及它背后的统计学意义吧！

其实理解样本相关系数r的关键，在于理解协方差和标准差。这两个概念看起来高大上，其实掰开了揉碎了也很好懂。

首先我们来回顾一下协方差的概念。它衡量的是两个变量变化方向的一致性。当一个变量高于其平均值时，另一个变量也倾向于高于其平均值，这就是正相关，协方差为正；反之，当一个变量高于其平均值时，另一个变量倾向于低于其平均值，这就是负相关，协方差为负。如果两个变量的变化方向没有任何关系，那么协方差就接近于零。

敲黑板！协方差的计算公式是：

Cov(X,Y) = Σ[(Xi – X̄)(Yi – Ȳ)] / (n-1)

其中，Xi和Yi分别是变量X和Y的第i个观测值，X̄和Ȳ分别是变量X和Y的样本平均值，n是样本容量。

接下来是标准差，它衡量的是一组数据偏离平均值的程度，也叫离散程度。标准差越大，数据越分散；标准差越小，数据越集中。

划重点！标准差的计算公式是：

SD(X) = √[Σ(Xi – X̄)² / (n-1)]

SD(Y) = √[Σ(Yi – Ȳ)² / (n-1)]

其中，符号的含义和协方差公式中的一样。

铺垫了这么多，终于来到我们的主角——样本相关系数r！

r = Cov(X,Y) / (SD(X) SD(Y))

这个公式，其实就是用协方差除以两个变量的标准差之积，从而标准化了协方差。这样做的好处是，r的值始终在-1到1之间，方便我们比较不同变量之间的相关性强弱。

r = 1 表示完全正相关，散点图上的点会落在一条上升的直线上；

r = -1 表示完全负相关，散点图上的点会落在一条下降的直线上；

r = 0 表示没有线性相关关系，散点图上的点会散乱分布，找不到明显的线性趋势。

| r的取值范围 | 相关性强度 |

|—|—|

| 0.8-1.0 | 极强相关 |

| 0.6-0.8 | 强相关 |

| 0.4-0.6 | 中等程度相关 |

| 0.2-0.4 | 弱相关 |

| 0.0-0.2 | 极弱相关或无相关 |

现在，我们用一个更直观的例子来理解一下。假设我们想研究身高和体重的关系，收集了一些数据，并计算出协方差为正值，说明身高和体重之间存在正相关关系，身高越高，体重也倾向于越高。但是，这个协方差的值受身高和体重本身的单位影响，例如，身高的单位是厘米，体重的单位是千克，如果我们把身高的单位换成米，协方差的值就会改变，但这并不意味着身高和体重的关系发生了变化。为了消除单位的影响，我们用各自的标准差进行标准化，得到样本相关系数r。这样，无论我们用什么单位来衡量身高和体重，它们之间的相关性强弱都可以用r来准确地表示，而且结果可以直接进行比较。

总结一下: 样本相关系数r的计算，实际上是将协方差进行标准化的过程，消除了变量单位的影响，使得r的值落在-1到1之间，方便我们比较不同变量之间的相关性强弱。

需要提醒大家的是：相关性并不等于因果关系！即使两个变量之间存在很强的相关性，也不一定意味着一个变量的变化会导致另一个变量的变化。例如，冰淇淋的销量和溺水人数之间可能存在正相关关系，但这并不意味着吃冰淇淋会导致溺水，而是因为两者都受到气温的影响。

希望这篇文章能帮助你更好地理解样本相关系数r的计算公式及其背后的统计学意义！